三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系
北京航空航天大學(xué)物理學(xué)院 郝維昌
一個(gè)物理系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，總能量為E，存在i個(gè)能級(jí)，第i能級(jí)能量為εi，第i能級(jí)存在gi態(tài)，若把ni個(gè)粒子分配給gi態(tài)上，約束條件：
1) Bose-Einstein statistics （波色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)）
粒子不可分辨，每個(gè)態(tài)上粒子數(shù)不受限制，第i個(gè)能級(jí)上的狀態(tài)數(shù)
總的微觀狀態(tài)數(shù)i種狀態(tài)數(shù)聯(lián)乘
當(dāng)粒子數(shù)很大時(shí)
拉格朗日乘子法，在約束條件下使Ω分布最大化，其變分為零
因此，能量為εi的第i個(gè)能級(jí)的微觀狀態(tài)分布函數(shù)為
取消粒子數(shù)的限制α=0
令
- 2) Fermi-Dirac statistics （費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)）
把ni粒子分配到gi態(tài)上，粒子不可分辨且一個(gè)態(tài)只能存在一個(gè)粒子(Pauli不相容)，第i個(gè)能級(jí)上的狀態(tài)數(shù)
總的微觀狀態(tài)數(shù)
同樣適用拉格朗日乘子法
因此，能量為εi的第i個(gè)能級(jí)的微觀狀態(tài)分布函數(shù)為
- 3) Boltzman-Maxwell statistics（玻爾茲曼–麥克斯韋統(tǒng)計(jì)）
把ni粒子分配到gi態(tài)上，粒子在每個(gè)態(tài)上數(shù)目不受限制且粒子是可分辨態(tài)，第i個(gè)能級(jí)上的狀態(tài)數(shù)
N個(gè)粒子，當(dāng)不同粒子交換后存在不同微觀狀態(tài)，同一個(gè)能級(jí)ni粒子，粒子交換不改變分布，因此有因子
，總的微觀狀態(tài)數(shù)
同樣利用拉格朗日乘子法
因此，能量為εi的第i個(gè)能級(jí)的微觀狀態(tài)分布函數(shù)為
由此可見經(jīng)典系統(tǒng)不一定比量子簡單，很多時(shí)候我們之所以對(duì)量子系統(tǒng)或者量子力學(xué)的理解不夠深刻，源于我們對(duì)經(jīng)典物理的一知半解。
上面的分析太數(shù)學(xué)了，下面舉一個(gè)具體的例子進(jìn)行說明。
某一物理系統(tǒng)中第i個(gè)能級(jí)中存在3個(gè)態(tài)(gi=3), 有2個(gè)粒子（ni=2）需要分配到這三個(gè)態(tài)上，看一下第i能級(jí)最終狀態(tài)數(shù)wi
（1） 玻色子(粒子不可分辨用兩個(gè)粒子均表示為A，兩個(gè)粒子可以存在于同一個(gè)態(tài)上)
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微觀狀態(tài) | g1 | g2 | g3 |
粒子分布情況枚舉 | AA | ||
AA | |||
AA | |||
A | A | ||
A | A | ||
A | A |
（2） 費(fèi)米子(粒子不可分辨用兩個(gè)粒子均表示為A，由于泡利不相容原理兩個(gè)粒子不能存在于同一個(gè)態(tài)上)
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微觀狀態(tài) | g1 | g2 | g3 |
粒子分布情況枚舉 | A | A | |
A | A | ||
A | A |
（3） 玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)（粒子不可分辨用兩個(gè)粒子分別表示為A、B，兩個(gè)粒子可以存在于同一個(gè)態(tài)上）
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微觀狀態(tài) | g1 | g2 | g3 |
粒子分布情況枚舉 | AB | ||
AB | |||
AB | |||
A | B | ||
B | A | ||
A | B | ||
B | A | ||
A | B | ||
B | A |
留給朋友們一個(gè)問題，為何這些統(tǒng)計(jì)模型都是指數(shù)函數(shù)？玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)與玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)之間內(nèi)在聯(lián)系是什么？
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